Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

In deze thesis ontwikkelen we multischaal preconditioners voor lineaire stelsels die men verkrijgt door vierde orde elliptische vergelijkingen op twee-dimensionale polygonale domeinen te discretiseren met de Galerkinmethode. Basisingrediënten zijn de constructie van multischaal basissen voor C1 continue eindige elementenruimten van Powell-Sabin type, en de karaterisatie van bepaalde Sobolev ruimten door middel van gewogen normequivalenties gebaseerd op de multischaalrepresentatie van functies. Deze normequivalenties geven dadelijk een afschatting voor de groei van de conditiegetallen van de gevoorconditioneerde stelsels. We verkiezen multischaal basissen die een groot aantal Sobolev ruimten karakteriseren omdat de bijhorende preconditioners dan robuuster zijn. We onderzoeken verschillende types multischaal basissen, zoals een suboptimale standaard hiërarchische basis, een optimale hiërarchische basis gebaseerd op Lagrange interpolatie en verscheidene wavelet basissen. Op niet-uniforme driehoeksverdelingen van een domein construeren we een biorthogonale waveletbasis die de fractionele Sobolev ruimten met gladheidsexponent in het open interval (0.802774, 2.5) karakteriseert. Op uniforme driehoeksverdelingen van een domein construeren we een semi-orthogonale waveletbasis die de fractionele Sobolev ruimten met gladheidsexponent in het open interval (-2.5, 2.5) karakteriseert. Bovendien ontwikkelen we een elegante methode om de verkregen resultaten uit te breiden naar gelijkaardige constructies op het oppervlak van de bol. In this dissertation we are concerned with the development of multilevel preconditioners for linear systems that arise from Galerkin methods for fourth order elliptic equations on two-dimensional polygonal domains. The key ingredients are the construction of multiscale bases for C1 conforming finite element spaces of Powell-Sabin type, and the characterization of certain Sobolev spaces by weighted norm equivalences related to the multiscale representation of functions. The latter immediately yields bounds on the growth rate of the condition numbers of the preconditioned systems. Multiscale bases that characterize a large range of Sobolev spaces are preferable, since the corresponding preconditioners are more robust. We explore different types of multiscale bases, such as a suboptimal standard hierarchical basis, an optimal hierarchical basis based on Lagrange interpolation, and several wavelet-type bases. On non-uniform triangulations we construct a biorthogonal wavelet basis that characterizes the fractional Sobolev spaces with smoothness exponent in the open interval (0.802774, 2.5). On uniform triangulations we construct a semi-orthogonal wavelet basis that characterizes the fractional Sobolev spaces with smoothness exponent in the open interval (-2.5, 2.5). Furthermore we develop an elegant way to extend the obtained results to similar constructions on the surface of the two-sphere. De elastische vervorming van dunne platen kan men beschrijven door een vierde orde elliptische partiële differentiaalvergelijking. De vervorming van dunne platen is een typische toepassing, maar er zijn andere toepassingen die kunnen beschreven worden door dergelijke vergelijkingen. Meestal gaat het over een oplossing die een oppervlak beschrijft met minimale energie zoals bv. bij het ontwerp van de voorruit van een auto, ooglenzen, allerlei geologische toepassingen, enz. Om een partiële differentiaalvergelijking numeriek op te lossen gaat men deze vergelijking vaak discretiseren met behulp van eindige elementen. Dit resulteert in een zeer groot lineair stelsel dat dan opgelost wordt met de geconjugeerde gradiëntmethode. Het stelsel lineaire vergelijkingen moet dan wel op gepaste wijze voorgeconditioneerd worden. Gedurende de voorbije 20 jaar is er actief gezocht naar verscheidene efficiënte voorconditioneringstechnieken. Een populaire techniek voor zulke problemen is de verandering van basis. Dit wil zeggen dat men niet zomaar een willekeurige eindige elementenbasis kiest om het probleem te discretiseren, maar dat men een geschikte basis kiest die aangepast is aan het probleem dat men wil oplossen. In 1986 verrichte Harry Yserentant baanbrekend werk door de zogenaamde hiërarchische basis te gebruiken voor het discretiseren van elliptische partiële differentiaalvergelijkingen. Een hiërarchische basis bestaat uit een aantal basisfuncties die geschikt zijn voor het ruw benaderen van een gegeven functie en basisfuncties die geschikt zijn voor het toevoegen van detail aan de initiële ruwe benadering. Op die manier creëert men een multischaal structuur waarbij men een functie op verscheidene niveau's van detail kan weergeven. Andere preconditioners volgden, zoals de nauw verwante BPX-preconditioner en de wavelet preconditioner. In de originele papers werden deze preconditioners ontwikkeld voor tweede orde elliptische partiële differentiaalvergelijkingen. In deze thesis kijken we naar geschikte preconditioners voor vierde orde elliptische partiële differentiaalvergelijkingen. The elastic deflection of thin plates can be modeled by a fourth order elliptic partial differential equation. The deflection of thin plates is a typical application, but also other applications rely on such equations. Usually one looks for a solution that describes a minimal energy surface such as, for instance, in the design of the front window of a car, eye lenses, all kinds of geological applications, and so on. Very often, in order to solve a partial differential equation numerically, one discretises the equation by means of so-called finite elements. A large linear system arises that is solved with the conjugate gradient method. However, for a fast and accurate solution, this linear system has to be suitably preconditioned. During the last 20 years people have looked for different kinds of efficient preconditioners. A popular technique for such problems is the change of basis. This means that one does not just take any finite element basis for discretising the problem, but one chooses a suitable basis that is adapted to the problem at hand. In 1986 Harry Yserentant introduced the so-called hierarchical basis to discretise elliptic partial differential equations. A hierarchical basis consists of some basis functions that are suitable for the coarse approximation of a given function and some basis functions that are suitable for adding detail to the initial coarse approximation. In this way one creates a multilevel structure such that a function can be approximated up to different levels of detail. Other similar preconditioners followed, such as the related BPX-preconditioner and the wavelet preconditioner. In the original papers these preconditioners were formulated in terms of second order elliptic equations. In this thesis we look for suitable preconditioners for fourth order elliptic partial differential equations.

519.63 <043> --- Academic collection --- Numerical methods for solution of partial differential equations--Dissertaties --- Theses --- 519.63 <043> Numerical methods for solution of partial differential equations--Dissertaties

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

519.63 --- Academic collection --- #BIBC:T1997 --- 681.3 *G18 --- Numerical methods for solution of partial differential equations --- Partial differential equations: difference methods; elliptic equations; finite element methods; hyperbolic equations; method of lines; parabolic equations (Numerical analysis) --- Theses --- 681.3 *G18 Partial differential equations: difference methods; elliptic equations; finite element methods; hyperbolic equations; method of lines; parabolic equations (Numerical analysis) --- 519.63 Numerical methods for solution of partial differential equations

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

Voor een belangrijke klasse meerschalige problemen bestaat er een scheiding van schalen tussen het beschikbare (microscopische) model en het (macroscopische) niveau waarop we het systeem wensen te bestuderen. Voor tijdsafhankelijke meerschalige problemen van dit type hebben Kevrekidis et al. een zogenaamd ``vergelijkingsvrij" raamwerk opgesteld, gebaseerd op het idee van een ``macroscopische tijdstapper". Wij bestuderen in dit raamwerk methodes die een ongekende macroscopische parti"ele differentiaalvergelijking kunnen benaderen aan de hand van gepast ge"initialiseerde microscopische simulaties in een aantal kleine deelgebieden van het ruimte-tijddomein. De bekomen methode is veel effici"enter dan een directe simulatie met het microscopische model. We analyseren, zowel theoretisch als met numerieke experimenten, het gedrag van de methode. Op basis van deze analyse stellen we verschillende verbeteringen voor. We tonen ook hoe we de bekomen tijdstapper kunnen gebruiken voor de analyse van bijvoorbeeld lange-termijnevenwichten. Tenslotte bespreken we een aantal experimenten waarbij het microscopische model stochastisch is. For an important class of multiscale problems, a separation of scales exists between the available (microscopic) model and the (macroscopic) level at which one would like to observe and analyze the system. For time-dependent multiscale problems of this type, Kevrekidis et al. developed a so-called ``equation-free'' framework, based on the idea of a so-called coarse-grained time-stepper. The patch dynamics scheme is a coarse-grained time-stepper which approximates the time evolution of a set of spatially distributed macroscopic variables for which the governing partial differential equation (PDE) is not (or only approximately) available; the scheme only performs appropriately initialized simulations using the available microscopic model in small portions of the space-time domain (the patches). We analyze the patch dynamics scheme for a class of parabolic homogenization problems. We show that the scheme approximates a finite difference scheme for the unavailable macroscopic equation when suitable boundary constraints are imposed on the microscopic simulations. Since this is generally not possible in practice, we introduce a modified scheme, which uses buffer regions around the patches. This allows to impose standard boundary conditions without affecting the microscopic solution inside the patches. We prove convergence for diffusion homogenization problems, and show numerically that the scheme can also be used for hyperbolic and higher order problems. We also formulate and analyze a finite volume variant for hyperbolic problems. Once a coarse-grained time-stepper has been constructed, it can readily be used as input for time-stepper based numerical bifurcation algorithms. We construct a Newton--GMRES method for the coarse-grained computation of travelling waves of lattice Boltzmann models. We accelerate the convergence of the GMRES iterations by means of a preconditioner, which is based on an approximate macroscopic PDE. We conclude with some numerical experiments in which the microscopic model is a stochastic particle-based model. We show that, in this case, one can only obtain accurate results when appropriate variance reduction techniques are used. This issue will require further investigation. Voor een belangrijke klasse meerschalige problemen bestaat er een scheiding van schalen tussen het beschikbare (microscopische) model en het (macroscopische) niveau waarop we het systeem wensen te bestuderen. Voor tijdsafhankelijke meerschalige problemen van dit type hebben Kevrekidis et al. een zogenaamd ``vergelijkingsvrij" raamwerk opgesteld, gebaseerd op het idee van een ``macroscopische tijdstapper". Wij bestuderen in dit raamwerk methodes die een ongekende macroscopische parti"ele differentiaalvergelijking kunnen benaderen aan de hand van gepast ge"initialiseerde microscopische simulaties in een aantal kleine deelgebieden van het ruimte-tijddomein. De bekomen methode is veel effici"enter dan een directe simulatie met het microscopische model. We analyseren, zowel theoretisch als met numerieke experimenten, het gedrag van de methode. Op basis van deze analyse stellen we verschillende verbeteringen voor. We tonen ook hoe we de bekomen tijdstapper kunnen gebruiken voor de analyse van bijvoorbeeld lange-termijnevenwichten. Tenslotte bespreken we een aantal experimenten waarbij het microscopische model stochastisch is. For an important class of multiscale problems, a separation of scales exists between the available (microscopic) model and the (macroscopic) level at which one would like to observe and analyze the system. For time-dependent multiscale problems of this type, Kevrekidis et al.~developed a so-called ``equation-free'' framework, based on the idea of a so-called coarse-grained time-stepper. In this framework, we study methods that allow to approximate an unavailable macroscopic partial differential equation, using only appropriately initialized microscopic simulations in a number of small regions in the space-timedomain (the patches). The resulting method is much more efficient than a straightforward simulation using the microscopic model. We analyse the behaviour of the method, both theoretically and with numerical experiments. Based on this analysis, we suggest a number of improvements. We also show how one can use this scheme to study long-term equilibria directly, en conclude with some experiments in which the microscopic model is stochastic.

Academic collection --- 519.63 <043> --- 681.3*I6 <043> --- 681.3*G18 <043> --- Numerical methods for solution of partial differential equations--Dissertaties --- Simulation and modeling (Computing methodologies)--See also {681.3*G3}--Dissertaties --- Partial differential equations: difference methods; elliptic equations; finite element methods; hyperbolic equations; method of lines; parabolic equations (Numerical analysis)--Dissertaties --- Theses --- 681.3*G18 <043> Partial differential equations: difference methods; elliptic equations; finite element methods; hyperbolic equations; method of lines; parabolic equations (Numerical analysis)--Dissertaties --- 681.3*I6 <043> Simulation and modeling (Computing methodologies)--See also {681.3*G3}--Dissertaties --- 519.63 <043> Numerical methods for solution of partial differential equations--Dissertaties

Choose an application

• Reference Manager
• EndNote
• RefWorks (Direct export to RefWorks)

Moderne gedistribueerde systemen hebben meer en meer een verweven netwerkstructuur (v.b. ad-hoc netwerken, transport systemen, enz.). Verschillende subsystemen zijn afhankelijk van elkaar en interageren met elkaar op verschillende, complexe, dynamische, en onvoorspelbare manieren. Meer en meer systemen hebben ook een volledig gedecentraliseerde structuur en moeten hun vereisten op een autonome manier bereiken. Een veelbelovende aanpak is gebruik te maken van een groep van agenten die samenwerken om het gewenste globaal of macroscopische systeemgedrag te bereiken door enkel gebruik te maken van lokale interacties, locale agent activiteiten, en lokaal verworven informatie. Dergelijke multi-agentsystemen hebben een zelf-organiserend emergent gedrag. Bij het ontwikkelen van zelf-organiserende emergente multi-agent systemen is het praktisch onhaalbaar om op een analytische wijze het microscopische gedrag voor de individuele agenten af te leiden uit het vereiste macroscopische gedrag. De oorzaak hiervan is het feit dat er geen enkele globale of centrale controle gebruikt wordt en dat het probleemoplossende vermogen komt uit complexe, dynamische, en onvoorspelbare microscopische interacties. Als gevolg is er ook geen ontwikkelingsproces beschikbaar dat toelaat om op een systematische manier het gewenste macroscopische gedrag te specifiëren, hieruit de nodige gedragingen halen voor individuele agenten, het systeem te bouwen, en te verifiëren om garanties te geven over het vereiste gedrag. Nochtans zijn zelf-organiserende emergente multi-agent systemen enkel aanvaardbaar in een industriële situatie als er ondersteuning bestaat voor een systematisch ontwerp, en vooral ondersteuning voor verificatie om dergelijke garanties te kunnen geven. De bijdrage van dit eindwerk is tweeledig. Een eerste bijdrage is een gedetailleerde studie van een numerieke verificatietechniek die veelbelovend is om garanties te geven over het macroscopische gedrag, namelijk Vergelijkingsvrije Macroscopische Analyse. De resultaten geven aan dat zelfs voor een aanpak die zich specifiek richt op het macroscopische gedrag er redelijk wat praktische en meer fundamentele beperkingen zijn opdat de aanpak toepasbaar is voor realistische toepassingen. Geen enkele verificatietechniek is toepasbaar om elk type macroscopisch gedrag te analyseren. Een tweede bijdrage is een aanpassing van het unified proces voor het ontwikkelen van zelf-organiserende emergente toepassingen. Meer specifiek bespreken we hoe een geschikte verificatietechniek geïntegreerd kan worden in het ontwikkelingsproces, en werken we twee technieken uit die ondersteuning bieden voor het ontwerp. Deze twee technieken richten zich specifiek op waar het probleemoplossend vermogen moet zitten: coördinatie en interacties in het systeem. Een eerste techniek is een ontwerppatronencatalogus van gedecentraliseerde coördinatiemechanismen. De tweede techniek is een modelleringsaanpak die de focus legt op het ontwerp van informatiedistributie in het systeem door middel van informatiestromen. De evaluatie van de vergelijkingsvrije macroscopische analysetechniek en de validatie van de ontwerptechnieken werd gedaan in twee toepassingen: automated guided vehicle (AGV) transportsystemen en applicatie waarin gegevens gegroepeerd moeten worden volgens gelijkenis. Het is duidelijk dat een puur systematisch proces of stappenplan onmogelijk is om op een analytische manier de juist microscopische algoritmen af te leiden voor een vereist macroscopisch gedrag. Ondanks dat is er nog steeds nood aan een proces om ontwikkelaars te begeleiden. De bijdragen van dit doctoraatswerk resulteren in een pragmatische aanpak op basis van een gekend ontwikkelingsproces. Dit proces is aangepast om een ontwikkelaar te ondersteuning bij het op een creatieve manier ontwerpen van een aanvaardbare oplossing. Vergelijkingsvrije macroscopische analyse is moeilijk toepasbaar om dergelijke oplossingen te verifiëren maar laat wel toe om iteratief feedback te geven om het ontwerp aan te passen en te verbeteren. Modern distributed systems exhibit an increasingly interwoven structure (e.g. ad-hoc networks, transportation systems, etc.). Different subsystems depend on and interact with each other in many, often very complex, dynamic, and unpredictable ways. Also, more and more systems require and exhibit a completely decentralised structure and need to achieve their requirements autonomously. A promising approach is to use a group of agents that cooperate to achieve the required system-wide or macroscopic behaviour using only local interaction, local agent activities, and locally obtained information. Such multi-agent systems exhibit self-organising emergent behaviour. When engineering self-organising emergent multi-agent systems, it is practically infeasible to analytically derive the microscopic behaviours for the individual agents when given the required macroscopic behaviour. The main reason is the lack of any global control and that the problem-solving power resides in complex, dynamic and often unpredictable microscopic interactions. As a consequence, no engineering process exists which allows to systematically specify desirable macroscopic behaviour, map this to the behaviours of individual agents, build the system, and verify it to guarantee the required behaviour. However, self-organising emergent multi-agent systems will only be acceptable in industry if there exists support for a systematic design, and especially support for verification to give guarantees about the macroscopic behaviour. The contribution of this thesis is twofold. A first contribution is a detailed study of a numerical verification technique that appears to be promising for giving guarantees about the macroscopic behaviour, i.e. Equation-free Macroscopic Analysis. The results indicate that even the applicability of an approach specifically targeted at macroscopic behaviour is limited by a number of practical and more fundamental issues. Not one verification technique can be applied to analyse every type of macroscopic behaviour. Secondly, we propose to adopt the unified process for engineering self-organising emergent applications by the integration of a suitable verification approach to iteratively guide the process to the required behaviour, and design support explicitly targeted at coordination and interaction as the problem-solving source. The design is supported by two techniques. A first technique is a design pattern catalogue of decentralised coordination mechanisms. A second technique is a modelling approach focussed at designing coordination through appropriate information distribution with information flows. Evaluation of the equation-free macroscopic analysis technique and validation of the design support is done in two main case studies: an automated guided vehicle (AGV) transportation system and a document clustering application. It is clear that a purely systematic process or step plan to analytically derive the correct microscopic behaviours for a required macroscopic behaviour is infeasible. Nevertheless, a process is needed to guide engineers. The contributions of this thesis allow for a pragmatic approach based on an existing well-known process. The process is customised to support the engineer in creatively designing an acceptable solution. Equation-free macroscopic analysis is hard to use for verifying these solutions, but allows to iteratively provide feedback to adapt and improve the design. Het onderzoek beschouwt autonome en gedecentraliseerde software-oplossingen waarbij men dikwijls inspiratie haalt uit natuurlijke fenomenen (v.b. mieren die voedsel zoeken met feromonen, marktmechanismen, enz.). Dit zijn zelf-organiserende emergente oplossingen. Enerzijds gaat het onderzoek over het aanbieden van ondersteuning voor het ontwerpen en ontwikkelen van dergelijke oplossingen. Anderzijds resulteerde het onderzoek een gedetailleerde studie van de numerieke analysetechniek "Vergelijksvrije Macroscopische Analyse". Deze techniek spitst zich expliciet toe op het analyseren van het gedrag van bovenvermelde oplossingen maar blijkt in praktijk moeilijk toepasbaar te zijn op meer complexe en realistische toepassingen. This thesis considers autonomous and decentralised software solutions which are often inspired by phenomena in nature (e.g. ants foraging for food using pheromones, market mechanisms, etc.). Such solutions are called self-organising emergent solutions. On the one hand the research offers support to design and engineer such solutions. On the other hand the research resulted in a detailed study of the numerical analysis technique called "Equation-Free Macroscopic Analysis". This technique focusses explicitly on analysing the behaviour of self-organising emergent solutions but in practice it appear to be hard to apply it on more complex and engineered cases.

Academic collection --- 681.3*D2 <043> --- 519.63 <043> --- 681.3*I6 <043> --- 681.3*C24 <043> --- Software engineering: protection mechanisms; standards--See also {681.3*K63}; {681.3*K51}--Dissertaties --- Numerical methods for solution of partial differential equations--Dissertaties --- Simulation and modeling (Computing methodologies)--See also {681.3*G3}--Dissertaties --- Distributed systems: distributed databases; distributed applications; networkoperating systems--Dissertaties --- Theses --- 681.3*C24 <043> Distributed systems: distributed databases; distributed applications; networkoperating systems--Dissertaties --- 681.3*I6 <043> Simulation and modeling (Computing methodologies)--See also {681.3*G3}--Dissertaties --- 519.63 <043> Numerical methods for solution of partial differential equations--Dissertaties --- 681.3*D2 <043> Software engineering: protection mechanisms; standards--See also {681.3*K63}; {681.3*K51}--Dissertaties